\input{preamble}

\title{Representações de Grupos e Álgebras de Lie}
\author{Thiago Brevidelli Garcia -- Iryna Kashuba \\ \texttt{pablopie.xyz}}
\date{Outubro de 2022}
\titlegraphic{
  \includegraphics[height=.7cm]{images/ime.eps}
  \hspace{.7cm}
  \includegraphics[height=.7cm]{images/cnpq.eps}
}

\begin{document}
\begin{frame}
  \maketitle
\end{frame}

\begin{frame}{Representações: O que são? Onde habitam?}
  \begin{itemize}
    \item Ações de grupos
      \begin{align*}
        G \times X & \to X \\
        G & \to S_X
      \end{align*}
  \end{itemize}

  \begin{blockquote}{Provérbios 20,11}
    Até \sout{a criança} um grupo se dará a conhecer pelas suas ações, \dots
  \end{blockquote}

  \begin{definition}
    Dados um grupo \(G\) e um corpo \(k\), uma representação de \(G\) sobre
    \(k\) é um \(k\)-espaço vetorial \(V\) munido de um homomorfismo de grupos
    \(G \to \operatorname{GL}(V)\).
  \end{definition}

  \begin{itemize}
    \item Representações com estrutura
      \begin{itemize}
        \item Representações contínuas
        \item Representações suaves
      \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Representações: O que são? Onde habitam?}
  \begin{columns}
    \begin{column}{.5\linewidth}
      \begin{itemize}
        \item \(D_3\) age no plano Cartesiano via

        \item \(\mathbb{S}^1\) age naturalmente em \(\mathbb{C}\)

        \item \(\operatorname{SU}_n \circlearrowright \mathbb{C}^n\)
      \end{itemize}
    \end{column}
    \begin{column}{.5\linewidth}
      \begin{figure}
        \centering
        \input{./images/dihedral-representation.tikz}
      \end{figure}
    \end{column}
  \end{columns}

  \begin{definition}
    Um homomorfismo de \(G\)--representações é uma aplicação linear \(T : V \to
    W\) com
    \begin{center}
      \begin{tikzcd}
        V \arrow{r}{T} \arrow[swap]{d}{g} & W \arrow{d}{g} \\
        V \arrow[swap]{r}{T}              & W
      \end{tikzcd}
    \end{center}
  \end{definition}

  \begin{block}{Problema fundamental}
    Classificar \emph{todas} as \(G\)-representações a menos de isomorfismo.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Grupos e Álgebras de Lie}
  \begin{itemize}
    \item Representações suaves / \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)
  \end{itemize}

  \begin{definition}
    Uma \(k\)-álgebra de Lie é um \(k\)-espaço vetorial \(\mathfrak{g}\) monido
    de um produto bilinear antissimétrico \([\,,] : \mathfrak{g} \times
    \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}\) satisfazendo a identidade de Jacobi
    \[
      [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0
    \]
  \end{definition}
  \begin{center}
    \begin{tabular}{ccc}
      \(V\) \(k\)-espaço vetorial &
      \rightsquigarrow &
      \(\mathfrak{gl}(V)\) \(k\)-alg de Lie
    \end{tabular}
  \end{center}

  \begin{itemize}
    \item \(\mathfrak{gl}(V) = \operatorname{End}(V)\) com \([X, Y] = X Y - Y
      X\)
  \end{itemize}
  \begin{definition}
    Uma representação de \(\mathfrak{g}\)
    é um \(k\)-espaço vetorial \(V\) munido de um operador linear
    \(\rho : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)\) que preserva dos colchetes.
    \[
      [\rho(X), \rho(Y)] = \rho([X, Y])
    \]
  \end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}{Grupos e Álgebras de Lie}
  \begin{definition}
    A álgebra de Lie \(\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G)\) é a
    \(\mathbb{R}\)-álgebra de Lie dos campos \(X \in \mathfrak{X}(G)\) tais que
    \(X_g = (d \ell_g)_e X_e \, \forall g \in G\), com
    \begin{gather*}
      [X, Y] f = X Y f - Y X f \\
      X, Y \in \mathfrak{g}, \quad f \in C^\infty(G)
    \end{gather*}
  \end{definition}
  \begin{itemize}
    \item Funtorialidade
      \begin{center}
        \begin{tabular}{ccccc}
          \(G \to H\) & \rightsquigarrow &
          \(\operatorname{Lie}(G) \to \operatorname{Lie}(H)\)
        \end{tabular}
      \end{center}

    \item Se \(G\) é simplesmente conexo
  \end{itemize}
  \begin{center}
    \begin{tabular}{ccccc}
      \(G\)-reps suaves / \(\mathbb{C}\) &
      \leftrightsquigarrow &
      \(\operatorname{Lie}(G)\)-reps / \(\mathbb{C}\) &
      \leftrightsquigarrow &
      \(\mathbb{C} \otimes \operatorname{Lie}(G)\)-reps / \(\mathbb{C}\)
    \end{tabular}
  \end{center}

  \begin{itemize}
    \item Funciona também para grupos algébricos e grupos de Lie complexos!
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Representações de $\operatorname{SU}_2$}
  \begin{itemize}
    \item \(\mathbb{C} \otimes \operatorname{Lie}(\operatorname{SU}_2) \cong
      \mathfrak{sl}_2 \mathbb{C}\) é a subálgebra dos \(X \in \mathfrak{gl}_2
      \mathbb{C}\) com \(\operatorname{Tr}(X) = 0\)
      \begin{align*}
        e & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 &  0 \end{pmatrix} &
        f & = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 &  0 \end{pmatrix} &
        h & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
      \end{align*}
      \begin{align*}
        [e, f] & = h & [h, f] & = -2 f & [h, e] = 2 e
      \end{align*}

    \item Toda \(\mathfrak{sl}_2 \mathbb{C}\)-rep \(V\) com \(\dim V < \infty\)
      é soma direta de \emph{irredutíveis}!
  \end{itemize}
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      \cdots          \arrow [bend left=60]{r} &
      V_{\lambda - 2} \arrow [bend left=60]{r}{e} \arrow [bend left=60]{l} &
      V_{\lambda}     \arrow [bend left=60]{r}{e} \arrow [bend left=60]{l}{f} &
      V_{\lambda + 2} \arrow [bend left=60]{r}    \arrow [bend left=60]{l}{f} &
      \cdots          \arrow [bend left=60]{l}
    \end{tikzcd}
  \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Representações de $\operatorname{SU}_2$}
  \begin{itemize}
    \item Os autovalores de \(h\) em \(V\) formam uma cadeia ininterrupta de
      inteiros simétrica ao redor de 0
      \begin{center}
        \begin{tabular}{ccccc}
              &    & 0           \\ \noalign{\smallskip\smallskip}
              & -1 &   & +1      \\ \noalign{\smallskip\smallskip}
           -2 &    & 0 &    & +2 \\ \noalign{\smallskip\smallskip}
        \end{tabular}
      \end{center}
      \begin{center}
        \begin{tikzcd}
          V_{- 4} \arrow [bend left=60]{r}{e} &
          V_{- 2} \arrow [bend left=60]{r}{e} \arrow [bend left=60]{l}{f} &
          V_0     \arrow [bend left=60]{r}{e} \arrow [bend left=60]{l}{f} &
          V_2     \arrow [bend left=60]{r}{e} \arrow [bend left=60]{l}{f} &
          V_4     \arrow [bend left=60]{l}{f}
        \end{tikzcd}
      \end{center}

    \item \(V\) é completamente caracterizada pelo maior autovalor \(\lambda
      \in \mathbb{Z}\) de \(h\)
      \begin{align*}
                               V & = \operatorname{Sym}^n \mathbb{C}^2 \\
        g \cdot (v_1 \cdots v_n) & = g v_1 \cdots g v_n,
        \, g \in \operatorname{SU}_2
      \end{align*}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Representações de Álgebras de Lie Semisimples}
  \begin{center}
    \begin{tabular}{rcl}
      \(\mathfrak{sl}_2 \mathbb{C}\) &
      \rightsquigarrow &
      \(\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}\) \\
      \(h\) &
      \rightsquigarrow &
      \(\mathfrak{h}
      = \{X \in \mathfrak{sl}_n \mathbb{C} : X\ \text{diagonal}\}\) \\
      \(\lambda \in \mathbb{C}\) &
      \rightsquigarrow &
      \(\lambda \in \mathfrak{h}^*\)
    \end{tabular}
  \end{center}
  \begin{itemize}
    \item \emph{Pesos}: ``autovalores'' da ação de \(\mathfrak{h}\)
      \[
        H \cdot v = \lambda(H) \cdot v \quad \forall H \in \mathfrak{h}
      \]

    \item Os pesos de \(V\) estão todos em um reticulado \(P \subset
      \mathfrak{h}^*\) e são congruentes mod um subreticulado \(Q \subset P\)
      \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[scale=1.2]
          \begin{rootSystem}{A}
            \wt[mDarkTeal]{ 0}{ 0}
            \wt[mDarkTeal]{-1}{ 2}
            \wt[mDarkTeal]{-2}{ 1}
            \wt[mDarkTeal]{ 1}{ 1}
            \wt[mDarkTeal]{-1}{-1}
            \wt[mDarkTeal]{ 2}{-1}
            \wt[mDarkTeal]{ 1}{-2}
            \filldraw[mDarkTeal] \weight{ 0}{ 1} circle (.75pt);
            \filldraw[mDarkTeal] \weight{-1}{ 0} circle (.75pt);
            \filldraw[mDarkTeal] \weight{ 1}{-1} circle (.75pt);
            \draw[-latex, mDarkTeal] \weight{-1.5}{-.5} -- \weight{1.5}{.5};
          \end{rootSystem}
        \end{tikzpicture}
      \end{center}

    \item \(V\) é determinado por seu maior peso!
  \end{itemize}
\end{frame}
\end{document}
rootSystem}
        \end{tikzpicture}
      \end{center}

    \item \(V\) é determinado por seu maior peso!
  \end{itemize}
\end{frame}
\end{document}
}
\end{frame}
\end{document}
