30th-siicusp

 \input{preamble}
 
 \title{Representações de Grupos e Álgebras de Lie}
 \author{Thiago Brevidelli Garcia -- Iryna Kashuba \\ \texttt{pablopie.xyz}}
 \date{Outubro de 2022}
 \titlegraphic{
   \includegraphics[height=.7cm]{images/ime.eps}
   \hspace{.7cm}
   \includegraphics[height=.7cm]{images/cnpq.eps}
 }
 
 \begin{document}
 \begin{frame}
   \maketitle
 \end{frame}
 
 \begin{frame}{Representações: O que são? Onde habitam?}
   \begin{itemize}
     \item Ações de grupos
       \begin{align*}
         G \times X & \to X \\
         G & \to S_X
       \end{align*}
   \end{itemize}
 
   \begin{blockquote}{Provérbios 20,11}
     Até \sout{a criança} um grupo se dará a conhecer pelas suas ações, \dots
   \end{blockquote}
 
   \begin{definition}
     Dados um grupo \(G\) e um corpo \(k\), uma representação de \(G\) sobre
     \(k\) é um \(k\)-espaço vetorial \(V\) munido de um homomorfismo de grupos
     \(G \to \operatorname{GL}(V)\).
   \end{definition}
 
   \begin{itemize}
     \item Representações com estrutura
       \begin{itemize}
         \item Representações contínuas
         \item Representações suaves
       \end{itemize}
   \end{itemize}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}[fragile]{Representações: O que são? Onde habitam?}
   \begin{columns}
     \begin{column}{.5\linewidth}
       \begin{itemize}
         \item \(D_3\) age no plano Cartesiano via
 
         \item \(\mathbb{S}^1\) age naturalmente em \(\mathbb{C}\)
 
         \item \(\operatorname{SU}_n \circlearrowright \mathbb{C}^n\)
       \end{itemize}
     \end{column}
     \begin{column}{.5\linewidth}
       \begin{figure}
         \centering
         \input{./images/dihedral-representation.tikz}
       \end{figure}
     \end{column}
   \end{columns}
 
   \begin{definition}
     Um homomorfismo de \(G\)--representações é uma aplicação linear \(T : V \to
     W\) com
     \begin{center}
       \begin{tikzcd}
         V \arrow{r}{T} \arrow[swap]{d}{g} & W \arrow{d}{g} \\
         V \arrow[swap]{r}{T}              & W
       \end{tikzcd}
     \end{center}
   \end{definition}
 
   \begin{block}{Problema fundamental}
     Classificar \emph{todas} as \(G\)-representações a menos de isomorfismo.
   \end{block}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}{Grupos e Álgebras de Lie}
   \begin{itemize}
     \item Representações suaves / \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)
   \end{itemize}
 
   \begin{definition}
     Uma \(k\)-álgebra de Lie é um \(k\)-espaço vetorial \(\mathfrak{g}\) monido
     de um produto bilinear antissimétrico \([\,,] : \mathfrak{g} \times
     \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}\) satisfazendo a identidade de Jacobi
     \[
       [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0
     \]
   \end{definition}
   \begin{center}
     \begin{tabular}{ccc}
       \(V\) \(k\)-espaço vetorial &
       \rightsquigarrow &
       \(\mathfrak{gl}(V)\) \(k\)-alg de Lie
     \end{tabular}
   \end{center}
 
   \begin{itemize}
     \item \(\mathfrak{gl}(V) = \operatorname{End}(V)\) com \([X, Y] = X Y - Y
       X\)
   \end{itemize}
   \begin{definition}
     Uma representação de \(\mathfrak{g}\)
     é um \(k\)-espaço vetorial \(V\) munido de um operador linear
     \(\rho : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)\) que preserva dos colchetes.
     \[
       [\rho(X), \rho(Y)] = \rho([X, Y])
     \]
   \end{definition}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}{Grupos e Álgebras de Lie}
   \begin{definition}
     A álgebra de Lie \(\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G)\) é a
     \(\mathbb{R}\)-álgebra de Lie dos campos \(X \in \mathfrak{X}(G)\) tais que
     \(X_g = (d \ell_g)_e X_e \, \forall g \in G\), com
     \begin{gather*}
       [X, Y] f = X Y f - Y X f \\
       X, Y \in \mathfrak{g}, \quad f \in C^\infty(G)
     \end{gather*}
   \end{definition}
   \begin{itemize}
     \item Funtorialidade
       \begin{center}
         \begin{tabular}{ccccc}
           \(G \to H\) & \rightsquigarrow &
           \(\operatorname{Lie}(G) \to \operatorname{Lie}(H)\)
         \end{tabular}
       \end{center}
 
     \item Se \(G\) é simplesmente conexo
   \end{itemize}
   \begin{center}
     \begin{tabular}{ccccc}
       \(G\)-reps suaves / \(\mathbb{C}\) &
       \leftrightsquigarrow &
       \(\operatorname{Lie}(G)\)-reps / \(\mathbb{C}\) &
       \leftrightsquigarrow &
       \(\mathbb{C} \otimes \operatorname{Lie}(G)\)-reps / \(\mathbb{C}\)
     \end{tabular}
   \end{center}
 
   \begin{itemize}
     \item Funciona também para grupos algébricos e grupos de Lie complexos!
   \end{itemize}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}[fragile]{Representações de $\operatorname{SU}_2$}
   \begin{itemize}
     \item \(\mathbb{C} \otimes \operatorname{Lie}(\operatorname{SU}_2) \cong
       \mathfrak{sl}_2 \mathbb{C}\) é a subálgebra dos \(X \in \mathfrak{gl}_2
       \mathbb{C}\) com \(\operatorname{Tr}(X) = 0\)
       \begin{align*}
         e & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 &  0 \end{pmatrix} &
         f & = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 &  0 \end{pmatrix} &
         h & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
       \end{align*}
       \begin{align*}
         [e, f] & = h & [h, f] & = -2 f & [h, e] = 2 e
       \end{align*}
 
     \item Toda \(\mathfrak{sl}_2 \mathbb{C}\)-rep \(V\) com \(\dim V < \infty\)
       é soma direta de \emph{irredutíveis}!
   \end{itemize}
   \begin{center}
     \begin{tikzcd}
       \cdots          \arrow [bend left=60]{r} &
       V_{\lambda - 2} \arrow [bend left=60]{r}{e} \arrow [bend left=60]{l} &
       V_{\lambda}     \arrow [bend left=60]{r}{e} \arrow [bend left=60]{l}{f} &
       V_{\lambda + 2} \arrow [bend left=60]{r}    \arrow [bend left=60]{l}{f} &
       \cdots          \arrow [bend left=60]{l}
     \end{tikzcd}
   \end{center}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}[fragile]{Representações de $\operatorname{SU}_2$}
   \begin{itemize}
     \item Os autovalores de \(h\) em \(V\) formam uma cadeia ininterrupta de
       inteiros simétrica ao redor de 0
       \begin{center}
         \begin{tabular}{ccccc}
               &    & 0           \\ \noalign{\smallskip\smallskip}
               & -1 &   & +1      \\ \noalign{\smallskip\smallskip}
            -2 &    & 0 &    & +2 \\ \noalign{\smallskip\smallskip}
         \end{tabular}
       \end{center}
       \begin{center}
         \begin{tikzcd}
           V_{- 4} \arrow [bend left=60]{r}{e} &
           V_{- 2} \arrow [bend left=60]{r}{e} \arrow [bend left=60]{l}{f} &
           V_0     \arrow [bend left=60]{r}{e} \arrow [bend left=60]{l}{f} &
           V_2     \arrow [bend left=60]{r}{e} \arrow [bend left=60]{l}{f} &
           V_4     \arrow [bend left=60]{l}{f}
         \end{tikzcd}
       \end{center}
 
     \item \(V\) é completamente caracterizada pelo maior autovalor \(\lambda
       \in \mathbb{Z}\) de \(h\)
       \begin{align*}
                                V & = \operatorname{Sym}^n \mathbb{C}^2 \\
         g \cdot (v_1 \cdots v_n) & = g v_1 \cdots g v_n,
         \, g \in \operatorname{SU}_2
       \end{align*}
   \end{itemize}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}[fragile]{Representações de Álgebras de Lie Semisimples}
   \begin{center}
     \begin{tabular}{rcl}
       \(\mathfrak{sl}_2 \mathbb{C}\) &
       \rightsquigarrow &
       \(\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}\) \\
       \(h\) &
       \rightsquigarrow &
       \(\mathfrak{h}
       = \{X \in \mathfrak{sl}_n \mathbb{C} : X\ \text{diagonal}\}\) \\
       \(\lambda \in \mathbb{C}\) &
       \rightsquigarrow &
       \(\lambda \in \mathfrak{h}^*\)
     \end{tabular}
   \end{center}
   \begin{itemize}
     \item \emph{Pesos}: ``autovalores'' da ação de \(\mathfrak{h}\)
       \[
         H \cdot v = \lambda(H) \cdot v \quad \forall H \in \mathfrak{h}
       \]
 
     \item Os pesos de \(V\) estão todos em um reticulado \(P \subset
       \mathfrak{h}^*\) e são congruentes mod um subreticulado \(Q \subset P\)
       \begin{center}
         \begin{tikzpicture}[scale=1.2]
           \begin{rootSystem}{A}
             \wt[mDarkTeal]{ 0}{ 0}
             \wt[mDarkTeal]{-1}{ 2}
             \wt[mDarkTeal]{-2}{ 1}
             \wt[mDarkTeal]{ 1}{ 1}
             \wt[mDarkTeal]{-1}{-1}
             \wt[mDarkTeal]{ 2}{-1}
             \wt[mDarkTeal]{ 1}{-2}
             \filldraw[mDarkTeal] \weight{ 0}{ 1} circle (.75pt);
             \filldraw[mDarkTeal] \weight{-1}{ 0} circle (.75pt);
             \filldraw[mDarkTeal] \weight{ 1}{-1} circle (.75pt);
             \draw[-latex, mDarkTeal] \weight{-1.5}{-.5} -- \weight{1.5}{.5};
           \end{rootSystem}
         \end{tikzpicture}
       \end{center}
 
     \item \(V\) é determinado por seu maior peso!
   \end{itemize}
 \end{frame}
 \end{document}