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Riemannian Geometry course project on the manifold H¹(I, M) of class H¹ curves on a Riemannian manifold M and its applications to the geodesics problem

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-# Trabalho Gorodski
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-## Plano
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-1. Introdução
-  * Espaços de função e a ideia da construção geral do Palais
-    * Muitas coisas são pontos críticos de funcionais
-    * Nosso amado H¹(I, M) e suas aplicações ao cálculo variacional
-    * Falar sobre outras aplicações de espaços de funções
-  * Variedades Banach: o que são e onde habitam?
-    * Falar brevemente sobre cálculo em espaços de Banach e definir as
-      variedades
-    * Exemplos de variedades Banach
-    * Falar do teorema de Henderson?
-2. Por que queremos curvas H¹ e não só curvas suaves por partes?
-3. As cartas do H¹(I, M)
-  * Falar do espaço tangente Tγ H¹(I, M) ≅ H¹(γ\* TM)
-  * Explicitar o isomorfismo entre a construção do Palais e a do Klingenberg
-  * Falar que isso é um caso particular da construção do Palais da variedade
-    das seções de classe H¹ de um fibrado sobre o intervalo
-  * Comentar dos exemplos mais aprofundados na seção 6 do Eells
-  * A métrica de H¹(I, M)
-4. Aplicações ao cálculo variacional
-  * Energia e comprimento são suaves
-  * Pontos críticos do funcional energia
-  * Fórmulas pra primeira variação
-  * Hessiana em variedades Riemannianas e a segunda variação da energia
-    * Definição da Hessiana
-    * Fórmula geral da segunda variação
-  * Compacidade do operador simétrico associado à segunda variação e paranaues
-    sobre índice de Morse
-  * Jacobi-Darboux
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-## O que muda de dim finita pra dim infinita?
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-* Nada! (do ponto de vista de definições)
-  * Definir variedades Banach e Hilbert
-    * Impõe separabilidade?
-    * Se não for impor aí impõe que é Hausdorff né
-  * Qual a construção do espaço tangente?
-  * A construção como "espaço das velocidades" (classes de curvas) funciona em
-    dimensão infinita? Sim!
-  * Os espaços tangentes a priori NÃO vem equipados com uma norma, mas vem sim
-    com uma topologia
-  * O que acontece é que cada carta em um ponto induz uma bijeção do espaço da
-    carta com o espaço tangente nesse ponto, de modo que uma escolha de carta
-    induz uma norma no espaço tangente
-  * A duas escolhas distantas de carta não precisam resultar numa mesma norma,
-    mas resultam em normas equivalentes (isomorfas), de modo que temos uma
-    topologia bem definida no espaço tangente
-  * A mesma coisa acontece em dimensão finita na verdade: no geral "calcular a
-    norma de um vetor no TpM" não é uma coisa que faça sentido a priori
-  * No caso do H¹(I, M) o espaço tangente tem uma metrica canônica sim
-  * Isso acontece justamente por conta do iso Tγ H¹(I, M) ≅ H¹(γ\* TM) ser
-    canônico
-  * Dar exemplos de variedades Banach interessantes
-    * Exemplos triviais: abertos de espaços de Banach
-    * O grupo A^x das unidades de uma álgebra Banach A
-      * É um aberto de A (não era pra ser fechado?)
-    * Ver exemplo 3 (B) do "A SETTING FOR GLOBAL ANALYSIS"
-    * Talvez tenha que excluir a hipótese de separabiliade
-    * Em particular GL(V) = ℒ(V)^x na topologia da norma
-      * O U(H) pra H Hilbert separável na topologia da norma tem estrutura de
-        variedade Banach modelada pelo espaço 𝔲(H) das transformações
-        skew-simétricas contínuas H → H
-    * Pelo teorema de Henderson não existem exemplos (separáveis) metrizáveis
-      além de abertos de espaços de Banach (ver refs)
-  * Nosso amada H¹(I, M)
-    * Espaços de funções entre variedades
-    * Esses caras são parte do caso de espaços de seções de fibrados
-    * No caso esses exemplos são tão sofisticados quanto o H¹(I, M) que a gente
-      vai se esmiussar, então talvez seja melhor se prender aos exemplos mais
-      simples de grupos num primeiro momento e só comentar que esse é meio que
-      o name of the game da análise global
-    * Dentre o caso geral de espaços de seções o H¹(I, M) é um dos exemplos
-      mais simples
-  * Não exemplos
-    * U(H) na topologia compacto-aberto: é grupo topológico mas não tem
-      estrutura suave canônica
-    * Diff(M): é Frechet
-    * O espaço das métricas Riemannianas sobre M: Frechet
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-## A estrutura de variedade do H¹(I, M)
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-* Quais as cartas? É meio tecnico: dado um certo subfibrado aberto U ⊂ TM e γ
-  uma curva suave por partes tem uma carta exp_γ : H¹(U_γ) → H¹(I, M)
-  * Provar que os H¹(U_γ) são abertos: prop 2.3.7 do Klingenberg
-* Qual o espaço tangente? Tγ H¹(I, M) ≅ H¹(γ\* TM)! (super intuitivo)
-  * Repare que o γ\* TM não é um fibrado suave, dado que γ é H¹(no máximo suave
-    por partes)
-  * Isso não dá nenhum problema pra gente por que a gente não ta muito
-    interessado na "estrutura suave" do γ\* TM (que no caso nem existe), mas
-    sim na estrutura de espaço de Banach do H¹(γ\* TM) que é dada a posteriori
-  * Provar que variações no sentido clássico são curvas suaves em H¹(I, M)!
-* Comentar que isso é um caso particular da construção do Palais da estrutura
-  de variedade no espaço das seções H¹ de um fibrado E → M (E não precisa ser
-  fibrado vetorial)
-  * Basta tomar E = M x I → I
-  * Citar o capítulo 11 do Palais, em que ele faz essas coisas com calma pra os
-    espaço das seções H¹ de fibrados sobre o intervalo
-  * Explicar por que a construção do Palais é equivalente à do Klingenberg
-    * Acho que não tem uma correlação direta entra as cartas, mas o mapa H¹(I x
-      M) ≅ H¹(I, M) é claro e é fácil checar que ele é suave olhando pras
-      cartas
-  * Comentar que tem exemplos mais aprofundados na seção 6 do Eells
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-## Por quê precisamos olhar pra curvas H¹ e não só curvas suaves por partes?
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-* O lance é que os funcionais comprimento e energia **NÃO** são contínuos na
-  topologia da convergência uniforme no espaço C^∞(I, ℝⁿ) das curvas suaves por
-  partes, mas são contínuos na topologia da norma 1
-* Você precisa controlar não só a função como a sua derivada
-* O H¹(I, ℝⁿ) é o completamento do C^∞(I, ℝⁿ) na norma 1, então faz sentido
-  olhar pro H¹(I, M) de modo geral
-* Além disso, faz sentido esperar que o espaço Γ(γ\* TM) dos campos suaves por
-  partes sobre uma curva gamma γ esteja contido no espaço tangente de γ, e o
-  completament de Γ(γ\* TM) na norma é o H¹(γ\* TM)
-  * Você quer que pelomenos seu espaço tangente seja completo, então faz
-    sentido olhar pra completamentatos
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-## Como provar os principais teoremas do cálculo variacional usando o H¹(I, M)?
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-* Tem uma fórmula fechada pra derivada da energia
-  * Acho que aplicando a regra da cadeia você chega na primeira variação da
-    energia
-* No geral o funcional energia E não tem pontos criticos alem das curvas
-  constantes, mas se você se restringe à subvariedade Ωpq M ⊂ H¹(I, M) das
-  curvas ligando p ∈ M a q ∈ M ai os pontos criticos são precisamente as
-  geodésicas (corolário do lema 2.4.3)
-* Os pontos críticos de E na subvariedade Λ M das curvas fechadas (sem endpoint
-  fixo) são precisamente as geodésicas fechadas também (corolário do lema
-  2.4.3)
-* É interessante que os pontos minimizantes de E em Ωpq M e Λ M são de fato
-  todos pontos críticos/geodésicas
-  * De fato, se um ponto é minimizante, então ele é minimizante ao longo de
-    toda curva. Em particular ele é ponto crítico da restrição da função a
-    qualquer curva e assim ele tem que ser ponto crítico
-* A segunda variação em um ponto crítico (geodésica) é a Hesseana de fato!
-* A fórmula da segunda variação da energia aparece no lema 2.5.1
-  * Acho que vale a pena pular a prova do item (i) e ir pro item (ii) direto,
-    pra não ter que falar da/entender a 2a forma fundamental
-* Tem uma versão do Jacobi-Darboux no teo 2.5.10
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-## Outros resultados interessantes
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-* Ωpq M é sempre um espaço metrico completo na métrica induzida, e Λ M e H¹(I,
-  M) são completos se M é compacta (corolário do teo 2.4.7)
-* O teorema 2.4.19 para que toda classe de homotopia de curvas em M admite uma
-  curva que minimiza a energia dentro da classe: o funcional E admite minimo em
-  cada componente conexa de Ωpq M, e o mesmo vale pra Λ M se M é compacto
-  * Pra provar isso tem que usar uns corolários estranhos do fato que essas
-    subvariedades satisfazem a condição C, não sei se vale a pena
-* O corolário 2.5.6 é brabo também: caracteriza campos de Jacobi ao longo de
-  uma curva γ como autovetores do operador autoadjunto associado à Hesseana da
-  restrição de E às nossas subvariedades de interesse
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-## Outras questões a resolver
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-* Não ta claro pra mim se o H¹(I, M) tem uma topologia a priori ou não
-  * Você coloca a topologia final do atlas né
-  * Na definição de variedade Banach do Lang também não assumem que a variedade
-    já vem com uma topologia a priori, então imagino que isso seja meio
-    canônico
-* Como você define a Hessiana no geral?
-  * É um tensor aleatório ai que coincide com a Hessiana em coordenas pra M
-    flat
-  * Na verdade você só precisa de uma conexão pra definir a Hessiana, no caso
-    usamos a conexão de Levi-Civita
-* Comentar em algum momento sobre aplicações além do estudo de geodésicas (ver
-  o penultimo parágrafo da página 234 do Palais)
-  * Subvariedades mínimas
-  * Funções harmônicas
-  * Metricas de Eistein
-  * Soluções periódicas de um Hamiltoniano
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-## Referências
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-* "Riemannian Geomtry" do Klingenberg
-* "Banach Manifolds of Fiber Bundle Sections" do Palais
-* "Critical point theory and submanifold geometry" (cap. 11) do Palais
-* Teorema de Henderson: "Infinite-dimensional manifolds are open subsets of
-  Hilbert space"
-* "Fundamentals of Differential Geometry" do Lang
-* "The Unitary Group in Its Strong Topology" do Matin Schttenloher
-* "A SETTING FOR GLOBAL ANALYSIS" do  Eells
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