30th-siicusp

A short lecture of mine on my scientific initiation project for 30th SIICUSP

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Parent: 9e9b3013097a1fe8742612769c562b962b2d7df3
Author: Pablo <pablo-escobar@riseup.net>
Date: Sat, 15 Oct 2022 20:52:12 +0000

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Modified	main.tex	204	204	0

diff --git a/images/dihedral-representation.tikz b/images/dihedral-representation.tikz
@@ -0,0 +1,17 @@
+% This picture represents the action of the dihedral group in the real plain
+% Copyright Pablo (C) 2021
+\begin{tikzpicture}[scale=.5]
+  % The axis
+  \draw[->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$x$};
+  \draw[->] (0,-2)--(0,2) node[above]{$y$};
+
+  % The triangle
+  \node[draw, regular polygon, regular polygon sides=3, minimum height=1cm]{};
+
+  % The action of sigma
+  \draw[->] (1.5, 0.5) arc (0:90:1cm) node at (1.5, 1.4) {$\sigma$};
+
+  % The action of tau
+  \draw[<->] (-1, -1)--(1, -1) node[right]{$\tau$};
+\end{tikzpicture}   
+

diff --git a/main.tex b/main.tex
@@ -10,4 +10,208 @@
   \maketitle
 \end{frame}
 
+\begin{frame}{Representações: O que são? Onde habitam?}
+  \begin{itemize}
+    \item Ações de grupos
+      \begin{align*}
+        G \times X & \to X \\
+        G & \to S_X
+      \end{align*}
+  \end{itemize}
+
+  \begin{blockquote}{Provérbios 20,11}
+    Até \sout{a criança} um grupo se dará a conhecer pelas suas ações, \dots
+  \end{blockquote}
+
+  \begin{definition}
+    Dados um grupo \(G\) e um corpo \(k\), uma representação de \(G\) sobre
+    \(k\) é um \(k\)-espaço vetorial \(V\) munido de um homomorfismo de grupos
+    \(G \to \operatorname{GL}(V)\).
+  \end{definition}
+
+  \pause
+
+  \begin{itemize}
+    \item Representações com estrutura
+      \begin{itemize}
+        \item Representações contínuas \pause
+        \item Representações suaves
+      \end{itemize}
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]{Exemplos}
+  \begin{columns}
+    \begin{column}{.5\linewidth}
+      \begin{itemize}
+        \item \(D_3\) age no plano Cartesiano via
+
+        \item \(\mathbb{S}^1\) age naturalmente em \(\mathbb{C}\)
+
+          \pause
+
+        \item \(\operatorname{SU}_n \circlearrowright \mathbb{C}^n\)
+      \end{itemize}
+    \end{column}
+    \begin{column}{.5\linewidth}
+      \begin{figure}
+        \centering
+        \input{./images/dihedral-representation.tikz}
+      \end{figure}
+    \end{column}
+  \end{columns}
+
+  \begin{definition}
+    Um homomorfismo de representações é uma aplicação linear \(T : V \to W\)
+    com
+    \begin{center}
+      \begin{tikzcd}
+        V \arrow{r}{T} \arrow[swap]{d}{g} & W \arrow{d}{g} \\
+        V \arrow[swap]{r}{T}              & W
+      \end{tikzcd}
+    \end{center}
+  \end{definition}
+
+  \begin{block}{Problema fundamental}
+    Classificar \emph{todas} as \(G\)-representações a menos de isomorfismo.
+  \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Grupos e Álgebras de Lie}
+  \begin{itemize}
+    \item A suavidade de representações pode ser delicada
+  \end{itemize}
+
+  \begin{definition}
+    Uma \(k\)-álgebra de Lie é um \(k\)-espaço vetorial \(\mathfrak{g}\) monido
+    de uma forma bilinear antisimétrica \([\,,] : \mathfrak{g} \times
+    \mathfrak{g} \to k\) satisfazendo a identidade de Jacobi
+    \[
+      [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0
+    \]
+  \end{definition}
+  \begin{center}
+    \begin{tabular}{ccc}
+      \(V\) \(k\)-espaço vetorial &
+      \rightsquigarrow &
+      \(\mathfrak{gl}(V)\) \(k\)-alg de Lie
+    \end{tabular}
+  \end{center}
+
+  \begin{itemize}
+    \item \(\mathfrak{gl}(V) = \operatorname{End}(V)\) com \([X, Y] = X Y - Y
+      X\)
+  \end{itemize}
+  \begin{definition}
+    Ume representação de \(\mathfrak{g}\)
+    é um \(k\)-espaço vetorial \(V\) munido de um operador linear
+    \(\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)\) que preserva dos colchetes.
+    \[
+      [T X, T Y] = T [X, Y]
+    \]
+  \end{definition}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Grupos e Álgebras de Lie}
+  \begin{definition}
+    A álgebra de Lie \(\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G)\) é a álgebra de
+    Lie dos campos \(X \in \mathfrak{X}(G)\) tais que \(X_g = (d \ell_g)_1 X_1,
+    \, \forall g \in G\), com
+    \[
+      [X, Y] f = X Y f - Y X f
+    \]
+  \end{definition}
+
+  \begin{itemize}
+    \item Funtorialidade
+      \begin{center}
+        \begin{tabular}{ccccc}
+          \(G \to H\) &
+          \rightsquigarrow &
+          \(T_1 G \to T_1 H\) &
+          \rightsquigarrow &
+          \(\operatorname{Lie}(G) \to \operatorname{Lie}(H)\)
+        \end{tabular}
+      \end{center}
+
+    \item Se \(G\) é simplesmente conexo
+  \end{itemize}
+  \begin{center}
+    \begin{tabular}{ccccc}
+      \(G\)-reps suaves / \(\mathbb{C}\) &
+      \leftrightsquigarrow &
+      \(\operatorname{Lie}(G)\)-reps / \(\mathbb{C}\) &
+      \leftrightsquigarrow &
+      \(\mathbb{C} \otimes \operatorname{Lie}(G)\)-reps / \(\mathbb{C}\)
+    \end{tabular}
+  \end{center}
+
+  \begin{itemize}
+    \item Funciona para grupos algébricos e grupos de Lie complexos!
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]{Representações de \(\operatorname{SU}_2\)}
+  \begin{itemize}
+    \item \(\mathbb{C} \otimes
+      \operatorname{Lie}(\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})) = \mathfrak{gl}_n
+      \mathbb{C}\)
+
+    \item \(\mathbb{C} \otimes \operatorname{Lie}(\operatorname{SU}_n) =
+      \mathfrak{sl}_n \mathbb{C}\) é a subálgebra dos \(X \in \mathfrak{gl}_n
+      \mathbb{C}\) com \(\operatorname{Tr}(X) = 0\)
+      \begin{align*}
+        e & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 &  0 \end{pmatrix} &
+        f & = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 &  0 \end{pmatrix} &
+        h & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
+      \end{align*}
+      \begin{align*}
+        [e, f] & = h & [h, f] & = -2 f & [h, e] = 2 e
+      \end{align*}
+
+    \item Uma \(\mathfrak{sl}_2 \mathbb{C}\)-rep \(V\) é \emph{irredutível} se
+      \(V\) não tem nenhum subespaço próprio \(\mathfrak{sl}_2
+      \mathbb{C}\)-invariante
+  \end{itemize}
+  \begin{center}
+    \begin{tikzcd}
+      \cdots \arrow[bend left=60]{r}
+      & V_{\lambda - 2} \arrow[bend left=60]{r}{e} \arrow[bend left=60]{l}
+      & V_{\lambda} \arrow[bend left=60]{r}{e} \arrow[bend left=60]{l}{f}
+      & V_{\lambda + 2} \arrow[bend left=60]{r} \arrow[bend left=60]{l}{f}
+      & \cdots \arrow[bend left=60]{l}
+    \end{tikzcd}
+  \end{center}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]{Representações de \(\operatorname{SU}_2\)}
+  \begin{center}
+    \begin{tikzcd}
+      \cdots \arrow[bend left=60]{r}
+      & V_{\lambda - 2} \arrow[bend left=60]{r}{e} \arrow[bend left=60]{l}
+      & V_{\lambda} \arrow[bend left=60]{r}{e} \arrow[bend left=60]{l}{f}
+      & V_{\lambda + 2} \arrow[bend left=60]{r} \arrow[bend left=60]{l}{f}
+      & \cdots \arrow[bend left=60]{l}
+    \end{tikzcd}
+  \end{center}
+  \begin{itemize}
+    \item Os autovalores de \(h\) em \(V\) formam uma cadeia ininterrupta de
+      inteiros simétrica ao redor de \(0\)
+      \begin{center}
+        \begin{tabular}{ccccc}
+              &    & 0         \\ \noalign{\smallskip\smallskip}
+              & -1 &   & 1     \\ \noalign{\smallskip\smallskip}
+           -2 &    & 0 &   & 2 \\ \noalign{\smallskip\smallskip}
+        \end{tabular}
+      \end{center}
+
+    \item \(V\) é completamente caracterizada pelo maior autovalor \(\lambda\)
+      de \(h\)
+      \begin{align*}
+                               V & = \operatorname{Sym}^n \mathbb{C}^2 \\
+        g \cdot (v_1 \cdots v_n) & = g v_1 \cdots g v_n,
+        \, g \in \operatorname{SU}_2
+      \end{align*}
+  \end{itemize}
+\end{frame}
 \end{document}