global-analysis-and-the-banach-manifold-of-class-h1-curvers

Riemannian Geometry course project on the manifold H¹(I, M) of class H¹ curves on a Riemannian manifold M and its applications to the geodesics problem

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diff --git a/main.tex b/main.tex
@@ -0,0 +1,16 @@
+\input{preamble}
+
+\title{Global Analysis \& the Hilbert Manifold of \(H^1\) Curves}
+\author{Thiago Brevidelli Garcia -- 4638749}
+\date{July 2022}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+\tableofcontents
+
+\input{sections/introduction}
+
+\printbibliography
+
+\end{document}

diff --git a/plan.md b/plan.md
@@ -0,0 +1,155 @@
+# Trabalho Gorodski
+
+## O que muda de dim finita pra dim infinita?
+
+* Nada! (do ponto de vista de definições)
+  * Definir variedades Banach e Hilbert
+    * Impõe separabilidade?
+    * Se não for impor aí impõe que é Hausdorff né
+  * Qual a construção do espaço tangente?
+  * A construção como "espaço das velocidades" (classes de curvas) funciona em
+    dimensão infinita? Sim!
+  * Os espaços tangentes a priori NÃO vem equipados com uma norma, mas vem sim
+    com uma topologia
+  * O que acontece é que cada carta em um ponto induz uma bijeção do espaço da
+    carta com o espaço tangente nesse ponto, de modo que uma escolha de carta
+    induz uma norma no espaço tangente
+  * A duas escolhas distantas de carta não precisam resultar numa mesma norma,
+    mas resultam em normas equivalentes (isomorfas), de modo que temos uma
+    topologia bem definida no espaço tangente
+  * A mesma coisa acontece em dimensão finita na verdade: no geral "calcular a
+    norma de um vetor no TpM" não é uma coisa que faça sentido a priori
+  * No caso do H¹(I, M) o espaço tangente tem uma metrica canônica sim
+  * Isso acontece justamente por conta do iso Tγ H¹(I, M) ≅ H¹(γ\* TM) ser
+    canônico
+  * Dar exemplos de variedades Banach interessantes
+    * Exemplos triviais: abertos de espaços de Banach
+    * O grupo A^x das unidades de uma álgebra Banach A
+      * É um aberto de A (não era pra ser fechado?)
+    * Ver exemplo 3 (B) do "A SETTING FOR GLOBAL ANALYSIS"
+    * Talvez tenha que excluir a hipótese de separabiliade
+    * Em particular GL(V) = ℒ(V)^x na topologia da norma
+      * O U(H) pra H Hilbert separável na topologia da norma tem estrutura de
+        variedade Banach modelada pelo espaço 𝔲(H) das transformações
+        skew-simétricas contínuas H → H
+    * Pelo teorema de Henderson não existem exemplos (separáveis) metrizáveis
+      além de abertos de espaços de Banach (ver refs)
+  * Nosso amada H¹(I, M)
+    * Espaços de funções entre variedades
+    * Esses caras são parte do caso de espaços de seções de fibrados
+    * No caso esses exemplos são tão sofisticados quanto o H¹(I, M) que a gente
+      vai se esmiussar, então talvez seja melhor se prender aos exemplos mais
+      simples de grupos num primeiro momento e só comentar que esse é meio que
+      o name of the game da análise global
+    * Dentre o caso geral de espaços de seções o H¹(I, M) é um dos exemplos
+      mais simples
+  * Não exemplos
+    * U(H) na topologia compacto-aberto: é grupo topológico mas não tem
+      estrutura suave canônica
+    * Diff(M): é Frechet
+    * O espaço das métricas Riemannianas sobre M: Frechet
+
+## A estrutura de variedade do H¹(I, M)
+
+* Quais as cartas? É meio tecnico: dado um certo subfibrado aberto U ⊂ TM e γ
+  uma curva suave por partes tem uma carta exp_γ : H¹(U_γ) → H¹(I, M)
+  * Provar que os H¹(U_γ) são abertos: prop 2.3.7 do Klingenberg
+* Qual o espaço tangente? Tγ H¹(I, M) ≅ H¹(γ\* TM)! (super intuitivo)
+  * Repare que o γ\* TM não é um fibrado suave, dado que γ é H¹(no máximo suave
+    por partes)
+  * Isso não dá nenhum problema pra gente por que a gente não ta muito
+    interessado na "estrutura suave" do γ\* TM (que no caso nem existe), mas
+    sim na estrutura de espaço de Banach do H¹(γ\* TM) que é dada a posteriori
+  * Provar que variações no sentido clássico são curvas suaves em H¹(I, M)!
+* Comentar que isso é um caso particular da construção do Palais da estrutura
+  de variedade no espaço das seções H¹ de um fibrado E → M (E não precisa ser
+  fibrado vetorial)
+  * Basta tomar E = M x I → I
+  * Citar o capítulo 11 do Palais, em que ele faz essas coisas com calma pra os
+    espaço das seções H¹ de fibrados sobre o intervalo
+  * Explicar por que a construção do Palais é equivalente à do Klingenberg
+    * Acho que não tem uma correlação direta entra as cartas, mas o mapa H¹(I x
+      M) ≅ H¹(I, M) é claro e é fácil checar que ele é suave olhando pras
+      cartas
+  * Comentar que tem exemplos mais aprofundados na seção 6 do Eells
+
+## Por quê precisamos olhar pra curvas H¹ e não só curvas suaves por partes?
+
+* O lance é que os funcionais comprimento e energia **NÃO** são contínuos na
+  topologia da convergência uniforme no espaço C^∞(I, ℝⁿ) das curvas suaves por
+  partes, mas são contínuos na topologia da norma 1
+* Você precisa controlar não só a função como a sua derivada
+* O H¹(I, ℝⁿ) é o completamento do C^∞(I, ℝⁿ) na norma 1, então faz sentido
+  olhar pro H¹(I, M) de modo geral
+* Além disso, faz sentido esperar que o espaço Γ(γ\* TM) dos campos suaves por
+  partes sobre uma curva gamma γ esteja contido no espaço tangente de γ, e o
+  completament de Γ(γ\* TM) na norma é o H¹(γ\* TM)
+  * Você quer que pelomenos seu espaço tangente seja completo, então faz
+    sentido olhar pra completamentatos
+
+## Como provar os principais teoremas do cálculo variacional usando o H¹(I, M)?
+
+* Tem uma fórmula fechada pra derivada da energia
+  * Acho que aplicando a regra da cadeia você chega na primeira variação da
+    energia
+* No geral o funcional energia E não tem pontos criticos alem das curvas
+  constantes, mas se você se restringe à subvariedade Ωpq M ⊂ H¹(I, M) das
+  curvas ligando p ∈ M a q ∈ M ai os pontos criticos são precisamente as
+  geodésicas (corolário do lema 2.4.3)
+* Os pontos críticos de E na subvariedade Λ M das curvas fechadas (sem endpoint
+  fixo) são precisamente as geodésicas fechadas também (corolário do lema
+  2.4.3)
+* É interessante que os pontos minimizantes de E em Ωpq M e Λ M são de fato
+  todos pontos críticos/geodésicas
+  * De fato, se um ponto é minimizante, então ele é minimizante ao longo de
+    toda curva. Em particular ele é ponto crítico da restrição da função a
+    qualquer curva e assim ele tem que ser ponto crítico
+* A segunda variação em um ponto crítico (geodésica) é a Hesseana de fato!
+* A fórmula da segunda variação da energia aparece no lema 2.5.1
+  * Acho que vale a pena pular a prova do item (i) e ir pro item (ii) direto,
+    pra não ter que falar da/entender a 2a forma fundamental
+* Tem uma versão do Jacobi-Darboux no teo 2.5.10
+
+## Outros resultados interessantes
+
+* Ωpq M é sempre um espaço metrico completo na métrica induzida, e Λ M e H¹(I,
+  M) são completos se M é compacta (corolário do teo 2.4.7)
+* O teorema 2.4.19 para que toda classe de homotopia de curvas em M admite uma
+  curva que minimiza a energia dentro da classe: o funcional E admite minimo em
+  cada componente conexa de Ωpq M, e o mesmo vale pra Λ M se M é compacto
+  * Pra provar isso tem que usar uns corolários estranhos do fato que essas
+    subvariedades satisfazem a condição C, não sei se vale a pena
+* O corolário 2.5.6 é brabo também: caracteriza campos de Jacobi ao longo de
+  uma curva γ como autovetores do operador autoadjunto associado à Hesseana da
+  restrição de E às nossas subvariedades de interesse
+
+## Outras questões a resolver
+
+* Não ta claro pra mim se o H¹(I, M) tem uma topologia a priori ou não
+  * Você coloca a topologia final do atlas né
+  * Na definição de variedade Banach do Lang também não assumem que a variedade
+    já vem com uma topologia a priori, então imagino que isso seja meio
+    canônico
+* Como você define a Hessiana no geral?
+  * É um tensor aleatório ai que coincide com a Hessiana em coordenas pra M
+    flat
+  * Na verdade você só precisa de uma conexão pra definir a Hessiana, no caso
+    usamos a conexão de Levi-Civita
+* Comentar em algum momento sobre aplicações além do estudo de geodésicas (ver
+  o penultimo parágrafo da página 234 do Palais)
+  * Subvariedades mínimas
+  * Funções harmônicas
+  * Metricas de Eistein
+  * Soluções periódicas de um Hamiltoniano
+
+## Referências
+
+* "Riemannian Geomtry" do Klingenberg
+* "Banach Manifolds of Fiber Bundle Sections" do Palais
+* "Critical point theory and submanifold geometry" (cap. 11) do Palais
+* Teorema de Henderson: "Infinite-dimensional manifolds are open subsets of
+  Hilbert space"
+* "Fundamentals of Differential Geometry" do Lang
+* "The Unitary Group in Its Strong Topology" do Matin Schttenloher
+* "A SETTING FOR GLOBAL ANALYSIS" do  Eells
+

diff --git a/references.bib b/references.bib
@@ -0,0 +1,126 @@
+@book{etingof,
+   title =     {Introduction to Representation Theory},
+   author =    {Pavel Etingof},
+   publisher = {American Mathematical Society},
+   year =      {2011},
+   series =    {Student Mathematical Library},
+}
+
+@article{frobenius1896gruppencharakteren,
+  title={{\"U}ber Gruppencharakteren},
+  author={Frobenius, F Georg},
+  journal={Wiss. Berlin},
+  pages={985--1021},
+  year={1896}
+}
+
+@article{griess-1982,
+  doi = {10.1007/bf01389186},
+  year = {1982},
+  month = feb,
+  publisher = {Springer Science and Business Media {LLC}},
+  volume = {69},
+  number = {1},
+  pages = {1--102},
+  author = {Robert L. Griess},
+  title = {The friendly giant},
+  journal = {Inventiones mathematicae}
+}
+
+@book{pioneers,
+   title =     {Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer},
+   author =    {Charles W. Curtis},
+   publisher = {American Mathematical Society, London Mathematical Society},
+   isbn =      {9780821890028},
+   year =      {1999},
+   series =    {History of Mathematics (Volume 15)},
+   edition =   {New},
+}
+
+@article{borcherds-1992,
+  year =      {1992},
+  month =     dec,
+  publisher = {Springer Science and Business Media {LLC}},
+  volume =    {109},
+  number =    {1},
+  pages =     {405--444},
+  author =    {Richard E. Borcherds},
+  title =     {Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras},
+  journal =   {Inventiones Mathematicae},
+  doi =       {https://doi.org/10.1007/bf01232032},
+}
+
+@book{doutorado-schur,
+  title={{\"U}ber eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen},
+  author={Schur, I.},
+  year={1901}
+}
+
+@book{burnside-groups,
+  title={Theory of groups of finite order},
+  author={Burnside, W.},
+  isbn={9781440035456},
+  year={1897},
+  publisher={The University Press}
+}
+
+@article{noether-hyperkomplexe,
+  title={Hyperkomplexe Gr{\"o}ssen und Darstellungstheorie},
+  author={Noether, Emmy},
+  journal={Mathematische Zeitschrift},
+  volume={30},
+  number={1},
+  pages={641--692},
+  year={1929},
+  publisher={Springer}
+}
+
+@book{noether-tribute,
+  title={Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work},
+  author={Noether, E. and Brewer, J.W. and Smith, R.G. and Smith, M.K.},
+  isbn={9780824715502},
+  lccn={lc81015203},
+  series={Monographs and textbooks in pure and applied mathematics},
+  year={1981},
+  publisher={M. Dekker}
+}
+
+@book{frobenius1,
+  title={{\"U}ber vertauschbare Matrizen},
+  author={Frobenius, G.},
+  isbn={9783111098005},
+  series={Preussische Akademie der Wissenschaften Berlin: Sitzungsberichte der Preu{\ss}ischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin},
+  year={1896},
+  publisher={Reichsdr.}
+}
+
+@book{frobenius2,
+  title={{\"U}ber Gruppencharaktere},
+  author={Frobenius, G.},
+  isbn={9783111097978},
+  series={Preussische Akademie der Wissenschaften Berlin: Sitzungsberichte der Preu{\ss}ischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin},
+  year={1896},
+  publisher={Reichsdr.}
+}
+
+@book{frobenius3,
+  title={{\"U}ber die Primfactoren der Gruppendeterminante},
+  author={Frobenius, G.},
+  year={1896},
+}
+
+@book{frobenius4,
+    title={{\"U}ber die Darstellung der endlichen Gruppen durch lineare Substitutionen},
+    author={Frobenius, G.},
+    year={1897},
+}
+    
+
+@book{referenciar,
+  title={Abhandlungen der K{\"o}niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften: 1837},
+  author={Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin},
+  series={Abhandlungen der K{\"o}niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften},
+  url={https://books.google.com.br/books?id=oto6AQAAMAAJ},
+  year={1839},
+  publisher={Verlag der K{\"o}niglichen Akademie der Wissenschaften in Commission bei Georg Reimer.}
+}+
\ No newline at end of file

diff --git a/sections/introduction.tex b/sections/introduction.tex
@@ -0,0 +1 @@
+\section{Introduction}