Riemannian Geometry course project on the manifold H¹(I, M) of class H¹ curves on a Riemannian manifold M and its applications to the geodesics problem
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Pablo <pablo-escobar@riseup.net >
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Sun, 24 Jul 2022 14:16:08 +0000
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@@ -0,0 +1,155 @@
+# Trabalho Gorodski
+
+## O que muda de dim finita pra dim infinita?
+
+* Nada! (do ponto de vista de definições)
+ * Definir variedades Banach e Hilbert
+ * Impõe separabilidade?
+ * Se não for impor aí impõe que é Hausdorff né
+ * Qual a construção do espaço tangente?
+ * A construção como "espaço das velocidades" (classes de curvas) funciona em
+ dimensão infinita? Sim!
+ * Os espaços tangentes a priori NÃO vem equipados com uma norma, mas vem sim
+ com uma topologia
+ * O que acontece é que cada carta em um ponto induz uma bijeção do espaço da
+ carta com o espaço tangente nesse ponto, de modo que uma escolha de carta
+ induz uma norma no espaço tangente
+ * A duas escolhas distantas de carta não precisam resultar numa mesma norma,
+ mas resultam em normas equivalentes (isomorfas), de modo que temos uma
+ topologia bem definida no espaço tangente
+ * A mesma coisa acontece em dimensão finita na verdade: no geral "calcular a
+ norma de um vetor no TpM" não é uma coisa que faça sentido a priori
+ * No caso do H¹(I, M) o espaço tangente tem uma metrica canônica sim
+ * Isso acontece justamente por conta do iso Tγ H¹(I, M) ≅ H¹(γ\* TM) ser
+ canônico
+ * Dar exemplos de variedades Banach interessantes
+ * Exemplos triviais: abertos de espaços de Banach
+ * O grupo A^x das unidades de uma álgebra Banach A
+ * É um aberto de A (não era pra ser fechado?)
+ * Ver exemplo 3 (B) do "A SETTING FOR GLOBAL ANALYSIS"
+ * Talvez tenha que excluir a hipótese de separabiliade
+ * Em particular GL(V) = ℒ(V)^x na topologia da norma
+ * O U(H) pra H Hilbert separável na topologia da norma tem estrutura de
+ variedade Banach modelada pelo espaço 𝔲(H) das transformações
+ skew-simétricas contínuas H → H
+ * Pelo teorema de Henderson não existem exemplos (separáveis) metrizáveis
+ além de abertos de espaços de Banach (ver refs)
+ * Nosso amada H¹(I, M)
+ * Espaços de funções entre variedades
+ * Esses caras são parte do caso de espaços de seções de fibrados
+ * No caso esses exemplos são tão sofisticados quanto o H¹(I, M) que a gente
+ vai se esmiussar, então talvez seja melhor se prender aos exemplos mais
+ simples de grupos num primeiro momento e só comentar que esse é meio que
+ o name of the game da análise global
+ * Dentre o caso geral de espaços de seções o H¹(I, M) é um dos exemplos
+ mais simples
+ * Não exemplos
+ * U(H) na topologia compacto-aberto: é grupo topológico mas não tem
+ estrutura suave canônica
+ * Diff(M): é Frechet
+ * O espaço das métricas Riemannianas sobre M: Frechet
+
+## A estrutura de variedade do H¹(I, M)
+
+* Quais as cartas? É meio tecnico: dado um certo subfibrado aberto U ⊂ TM e γ
+ uma curva suave por partes tem uma carta exp_γ : H¹(U_γ) → H¹(I, M)
+ * Provar que os H¹(U_γ) são abertos: prop 2.3.7 do Klingenberg
+* Qual o espaço tangente? Tγ H¹(I, M) ≅ H¹(γ\* TM)! (super intuitivo)
+ * Repare que o γ\* TM não é um fibrado suave, dado que γ é H¹(no máximo suave
+ por partes)
+ * Isso não dá nenhum problema pra gente por que a gente não ta muito
+ interessado na "estrutura suave" do γ\* TM (que no caso nem existe), mas
+ sim na estrutura de espaço de Banach do H¹(γ\* TM) que é dada a posteriori
+ * Provar que variações no sentido clássico são curvas suaves em H¹(I, M)!
+* Comentar que isso é um caso particular da construção do Palais da estrutura
+ de variedade no espaço das seções H¹ de um fibrado E → M (E não precisa ser
+ fibrado vetorial)
+ * Basta tomar E = M x I → I
+ * Citar o capítulo 11 do Palais, em que ele faz essas coisas com calma pra os
+ espaço das seções H¹ de fibrados sobre o intervalo
+ * Explicar por que a construção do Palais é equivalente à do Klingenberg
+ * Acho que não tem uma correlação direta entra as cartas, mas o mapa H¹(I x
+ M) ≅ H¹(I, M) é claro e é fácil checar que ele é suave olhando pras
+ cartas
+ * Comentar que tem exemplos mais aprofundados na seção 6 do Eells
+
+## Por quê precisamos olhar pra curvas H¹ e não só curvas suaves por partes?
+
+* O lance é que os funcionais comprimento e energia **NÃO** são contínuos na
+ topologia da convergência uniforme no espaço C^∞(I, ℝⁿ) das curvas suaves por
+ partes, mas são contínuos na topologia da norma 1
+* Você precisa controlar não só a função como a sua derivada
+* O H¹(I, ℝⁿ) é o completamento do C^∞(I, ℝⁿ) na norma 1, então faz sentido
+ olhar pro H¹(I, M) de modo geral
+* Além disso, faz sentido esperar que o espaço Γ(γ\* TM) dos campos suaves por
+ partes sobre uma curva gamma γ esteja contido no espaço tangente de γ, e o
+ completament de Γ(γ\* TM) na norma é o H¹(γ\* TM)
+ * Você quer que pelomenos seu espaço tangente seja completo, então faz
+ sentido olhar pra completamentatos
+
+## Como provar os principais teoremas do cálculo variacional usando o H¹(I, M)?
+
+* Tem uma fórmula fechada pra derivada da energia
+ * Acho que aplicando a regra da cadeia você chega na primeira variação da
+ energia
+* No geral o funcional energia E não tem pontos criticos alem das curvas
+ constantes, mas se você se restringe à subvariedade Ωpq M ⊂ H¹(I, M) das
+ curvas ligando p ∈ M a q ∈ M ai os pontos criticos são precisamente as
+ geodésicas (corolário do lema 2.4.3)
+* Os pontos críticos de E na subvariedade Λ M das curvas fechadas (sem endpoint
+ fixo) são precisamente as geodésicas fechadas também (corolário do lema
+ 2.4.3)
+* É interessante que os pontos minimizantes de E em Ωpq M e Λ M são de fato
+ todos pontos críticos/geodésicas
+ * De fato, se um ponto é minimizante, então ele é minimizante ao longo de
+ toda curva. Em particular ele é ponto crítico da restrição da função a
+ qualquer curva e assim ele tem que ser ponto crítico
+* A segunda variação em um ponto crítico (geodésica) é a Hesseana de fato!
+* A fórmula da segunda variação da energia aparece no lema 2.5.1
+ * Acho que vale a pena pular a prova do item (i) e ir pro item (ii) direto,
+ pra não ter que falar da/entender a 2a forma fundamental
+* Tem uma versão do Jacobi-Darboux no teo 2.5.10
+
+## Outros resultados interessantes
+
+* Ωpq M é sempre um espaço metrico completo na métrica induzida, e Λ M e H¹(I,
+ M) são completos se M é compacta (corolário do teo 2.4.7)
+* O teorema 2.4.19 para que toda classe de homotopia de curvas em M admite uma
+ curva que minimiza a energia dentro da classe: o funcional E admite minimo em
+ cada componente conexa de Ωpq M, e o mesmo vale pra Λ M se M é compacto
+ * Pra provar isso tem que usar uns corolários estranhos do fato que essas
+ subvariedades satisfazem a condição C, não sei se vale a pena
+* O corolário 2.5.6 é brabo também: caracteriza campos de Jacobi ao longo de
+ uma curva γ como autovetores do operador autoadjunto associado à Hesseana da
+ restrição de E às nossas subvariedades de interesse
+
+## Outras questões a resolver
+
+* Não ta claro pra mim se o H¹(I, M) tem uma topologia a priori ou não
+ * Você coloca a topologia final do atlas né
+ * Na definição de variedade Banach do Lang também não assumem que a variedade
+ já vem com uma topologia a priori, então imagino que isso seja meio
+ canônico
+* Como você define a Hessiana no geral?
+ * É um tensor aleatório ai que coincide com a Hessiana em coordenas pra M
+ flat
+ * Na verdade você só precisa de uma conexão pra definir a Hessiana, no caso
+ usamos a conexão de Levi-Civita
+* Comentar em algum momento sobre aplicações além do estudo de geodésicas (ver
+ o penultimo parágrafo da página 234 do Palais)
+ * Subvariedades mínimas
+ * Funções harmônicas
+ * Metricas de Eistein
+ * Soluções periódicas de um Hamiltoniano
+
+## Referências
+
+* "Riemannian Geomtry" do Klingenberg
+* "Banach Manifolds of Fiber Bundle Sections" do Palais
+* "Critical point theory and submanifold geometry" (cap. 11) do Palais
+* Teorema de Henderson: "Infinite-dimensional manifolds are open subsets of
+ Hilbert space"
+* "Fundamentals of Differential Geometry" do Lang
+* "The Unitary Group in Its Strong Topology" do Matin Schttenloher
+* "A SETTING FOR GLOBAL ANALYSIS" do Eells
+
diff --git a/references.bib b/references.bib
@@ -0,0 +1,126 @@
+@book{etingof,
+ title = {Introduction to Representation Theory},
+ author = {Pavel Etingof},
+ publisher = {American Mathematical Society},
+ year = {2011},
+ series = {Student Mathematical Library},
+}
+
+@article{frobenius1896gruppencharakteren,
+ title={{\"U}ber Gruppencharakteren},
+ author={Frobenius, F Georg},
+ journal={Wiss. Berlin},
+ pages={985--1021},
+ year={1896}
+}
+
+@article{griess-1982,
+ doi = {10.1007/bf01389186},
+ year = {1982},
+ month = feb,
+ publisher = {Springer Science and Business Media {LLC}},
+ volume = {69},
+ number = {1},
+ pages = {1--102},
+ author = {Robert L. Griess},
+ title = {The friendly giant},
+ journal = {Inventiones mathematicae}
+}
+
+@book{pioneers,
+ title = {Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer},
+ author = {Charles W. Curtis},
+ publisher = {American Mathematical Society, London Mathematical Society},
+ isbn = {9780821890028},
+ year = {1999},
+ series = {History of Mathematics (Volume 15)},
+ edition = {New},
+}
+
+@article{borcherds-1992,
+ year = {1992},
+ month = dec,
+ publisher = {Springer Science and Business Media {LLC}},
+ volume = {109},
+ number = {1},
+ pages = {405--444},
+ author = {Richard E. Borcherds},
+ title = {Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras},
+ journal = {Inventiones Mathematicae},
+ doi = {https://doi.org/10.1007/bf01232032},
+}
+
+@book{doutorado-schur,
+ title={{\"U}ber eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen},
+ author={Schur, I.},
+ year={1901}
+}
+
+@book{burnside-groups,
+ title={Theory of groups of finite order},
+ author={Burnside, W.},
+ isbn={9781440035456},
+ year={1897},
+ publisher={The University Press}
+}
+
+@article{noether-hyperkomplexe,
+ title={Hyperkomplexe Gr{\"o}ssen und Darstellungstheorie},
+ author={Noether, Emmy},
+ journal={Mathematische Zeitschrift},
+ volume={30},
+ number={1},
+ pages={641--692},
+ year={1929},
+ publisher={Springer}
+}
+
+@book{noether-tribute,
+ title={Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work},
+ author={Noether, E. and Brewer, J.W. and Smith, R.G. and Smith, M.K.},
+ isbn={9780824715502},
+ lccn={lc81015203},
+ series={Monographs and textbooks in pure and applied mathematics},
+ year={1981},
+ publisher={M. Dekker}
+}
+
+@book{frobenius1,
+ title={{\"U}ber vertauschbare Matrizen},
+ author={Frobenius, G.},
+ isbn={9783111098005},
+ series={Preussische Akademie der Wissenschaften Berlin: Sitzungsberichte der Preu{\ss}ischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin},
+ year={1896},
+ publisher={Reichsdr.}
+}
+
+@book{frobenius2,
+ title={{\"U}ber Gruppencharaktere},
+ author={Frobenius, G.},
+ isbn={9783111097978},
+ series={Preussische Akademie der Wissenschaften Berlin: Sitzungsberichte der Preu{\ss}ischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin},
+ year={1896},
+ publisher={Reichsdr.}
+}
+
+@book{frobenius3,
+ title={{\"U}ber die Primfactoren der Gruppendeterminante},
+ author={Frobenius, G.},
+ year={1896},
+}
+
+@book{frobenius4,
+ title={{\"U}ber die Darstellung der endlichen Gruppen durch lineare Substitutionen},
+ author={Frobenius, G.},
+ year={1897},
+}
+
+
+@book{referenciar,
+ title={Abhandlungen der K{\"o}niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften: 1837},
+ author={Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin},
+ series={Abhandlungen der K{\"o}niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften},
+ url={https://books.google.com.br/books?id=oto6AQAAMAAJ},
+ year={1839},
+ publisher={Verlag der K{\"o}niglichen Akademie der Wissenschaften in Commission bei Georg Reimer.}
+} +
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